La turbulence joue un rôle important dans de nombreuses applications industrielles (écoulement, transfert de chaleur, réactions chimiques). Comme la simulation directe (DNS) est souvent d’un coût excessif en temps calcul, les modèles en moyenne de Reynolds (RANS) sont alors utilisés dans les codes de CFD (computational fluid dynamics). Le plus connu, qui a été publié dans les années 70, est le modèle k – e. Il se traduit par deux équations additionnelles non-linéaires couplées aux équations de Navier-Stokes, décrivant le transport, pour l’une, de l’énergie cinétique turbulente (k) et, pour l’autre, de son taux de dissipation (e). Une propriété très importante à vérifier est la positivité des paramètres k et e qui est nécessaire pour que le système d’équations modélisant la turbulence reste stable. Il est donc crucial que la discrétisation de ces modèles préserve la monotonie. Les équations étant de type convection-diffusion, il est bien connu qu’avec des schémas classiques linéaires (Eléments finis, Volumes finis etc…), les solutions numériques sont susceptibles d’osciller sur des mailles déformées. Les valeurs négatives des paramètres k et e sont alors à l’origine de l’arrêt de la simulation. Il s’avère donc nécessaire de rendre monotone les schémas linéaires classiques de la littérature de manière consistante et stable.
Nous nous intéressons aux méthodes non linéaires permettant d’obtenir des stencils compacts. Pour des opérateurs de diffusion, elles reposent sur des combinaisons non linéaires de flux de part et d’autre de chaque arête. Ces approchent ont montré leur efficacité, particulièrement pour la suppression d’oscillations sur des maillages très déformés. On pourra également reprendre les idées proposées dans la littérature, où il est par exemple décrit des corrections non linéaires s’appliquant sur des schémas linéaires classiques.
L’idée serait donc d’appliquer ce type de méthode sur les opérateurs diffusifs apparaissant dans les modèles k-e. Dans ce contexte, il sera également intéressant de transformer des schémas classiques de la littérature approchant les gradients en schémas non linéaires à deux points. Des questions fondamentales doivent être examinées dans le cas de maillages généraux à propos de la consistance et de la coercivité des schémas étudiés.
Au cours de la thèse, on prendra le temps de régler les problèmes de fond de ces méthodes (première et seconde année), à la fois sur les aspects théoriques et sur la mise en œuvre informatique. Cette dernière pourra être effectuée dans les environnements de développement Castem, TrioCFD, Trust ou POLYMAC. On s’intéressera alors à des solutions analytiques régulières et aux cas d’application représentatifs de la communauté.