La simulation des équations de Navier-Stokes demande de disposer de méthodes numériques précises et robustes prenant en compte des opérateurs de diffusions, des termes de gradient et de convection. Les approches opérationnelles ont montré leur efficacité sur des simplexes. Cependant, dans certaines modélisations ou certains codes (TrioCFD, Flica5), il peut être utile d’améliorer localement la précision des solutions à l’aide d’un estimateur d’erreur ou bien de prendre en compte des mailles de forme générale.
Rappelons que nous nous intéressons ici à des schémas décalés. Cela signifie que la pression est calculée au centre des mailles et les vitesses sur les arêtes (ou les faces) du maillage. On obtient alors des méthodes naturellement précises à bas nombre de Mach.
De nouveaux schémas ont été présentés récemment dans ce contexte et ont montré leur robustesse et leur précision. Cependant, ces discrétisations peuvent être très coûteuses en place mémoire et en temps calcul en comparaison aux schémas MAC sur des maillages réguliers.
Nous nous intéressons aux méthodes de type « gradient ». Certaines d’entre elles reposent sur une formulation variationnelle avec des inconnues de pression aux centres des mailles et des inconnues de vecteur vitesse sur les arêtes (ou les faces) des cellules. Cette approche a montré son efficacité, particulièrement en termes de robustesse.
Notons également qu’un algorithme avec les mêmes degrés de libertés que les méthodes MAC a été proposé et donne des résultats prometteurs.
L’idée serait donc de combiner ces deux approches, à savoir la méthode « gradient » avec les mêmes degrés de libertés que les méthodes MAC. Dans un premier temps, on s’attachera à retrouver les schémas MAC sur les maillages réguliers. Des questions fondamentales doivent être examinées dans le cas de maillages généraux : stabilité, consistance, conditionnement du système à inverser, verrouillage numérique.
On pourra également essayer de retrouver les gains en précisions obtenus à l’aide des méthodes pour discrétiser les gradients de pression.
Au cours de la thèse, on prendra le temps de régler les problèmes de fond de cette méthode (première et seconde année), à la fois sur les aspects théoriques et sur la mise en oeuvre informatique. Cette dernière pourra être effectuée dans les environnements de développement Castem, TrioCFD, Trust ou POLYMAC. On s’intéressera alors aux cas d’application représentatifs de la communauté.